【题目】如图，在四棱锥
中，
平面
，
，
，
，
，二面角
为
，
为
的中点，点
在
上，且
（1）求证：四边形为直角梯形；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）通过证明
，且
可得四边形
为直角梯形；
（2）过点
作
的垂线交
于点
，则
，
，以为坐标原点，分别以
，，
为
轴，
轴，
轴，建立如图所示的空间直角坐标系
，求出面
和面
的法向量，求出法向量的夹角即可得二面角
的余弦值.
（1）证明：因为
平面，
，
所以
因为，且，
所以四边形为直角梯形；
（2）过点作的垂线交于点，则，，以为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则
，
，
，
，
由（1）知，又，则
为二面角
的平面角，则
，
，
所以
，
，
所以
，
，
，
所以
，
，
设平面的法向量
，则
，即
令：
，则
，
，所以
，
又平面的法向量
，
所以
，
由题意知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
考前必练系列答案科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元
世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知数，三三数之剩二，五五数之剩三，问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，求这个整数.设这个整数为
，当
时，符合条件的共有（ ）
A. 
个B. 
个C. 
个D. 
个
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，四棱锥
的底面
为直角梯形，
，且
，
，
，平面
底面，
为
的中点，
为等边三角形，
是棱
上的一点，设
（与
不重合）.
（1）当
时，求三棱锥
的体积；
（2）若
平面
，求
的值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在直角坐标系
中，以坐标原点
务极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
，
(1)求曲线
，
的直角坐标方程；
(2)曲线和的交点为
，
，求以
为直径的圆与
轴的交点坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】根据统计调查数据显示：某企业某种产品的质量指标值
服从正态分布
，从该企业生产的这种产品（数量很大）中抽取100件，测量这100件产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间
，
，
内的频率之比为
.
（1）求这100件产品质量指标值落在区间内的频率；
（2）根据频率分布直方图求平均数
（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）若
取这100件产品指标的平均值，从这种产品（数量很大）中任取3个，求至少有1个落在区间
的概率.
参考数据：
，若
，则
；
；
.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
（α为参数），在以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点M的极坐标为
，直线l的极坐标方程为
．
（1）求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程；
（2）若N是曲线C上的动点，P为线段MN的中点，求点P到直线l的距离的最大值．
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