【题目】如图,在四棱锥中,平面,,,,,二面角为,为的中点,点在上,且
(1)求证:四边形为直角梯形;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】
(1)通过证明,且可得四边形为直角梯形;
(2)过点作的垂线交于点,则,,以为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出面和面的法向量,求出法向量的夹角即可得二面角的余弦值.
(1)证明:因为平面,,
所以
因为,且,
所以四边形为直角梯形;
(2)过点作的垂线交于点,则,,以为坐标原点,分别以,,为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,,
由(1)知,又,则为二面角的平面角,则,,
所以,,
所以,,,
所以,
,
设平面的法向量,则,即
令:,则,,所以,
又平面的法向量,
所以,
由题意知二面角为钝角,
所以二面角的余弦值为.
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【题目】一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期(公元世纪)的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题,叫做“物不知数”问题,原文如下:有物不知数,三三数之剩二,五五数之剩三,问物几何?即,一个整数除以三余二,除以五余三,求这个整数.设这个整数为,当时,符合条件的共有( )
A. 个B. 个C. 个D. 个
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【题目】如图,四棱锥的底面为直角梯形,,且,,,平面底面,为的中点,为等边三角形,是棱上的一点,设(与不重合).
(1)当时,求三棱锥的体积;
(2)若平面,求的值.
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【题目】在直角坐标系中,以坐标原点务极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线,
(1)求曲线,的直角坐标方程;
(2)曲线和的交点为,,求以为直径的圆与轴的交点坐标.
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【题目】根据统计调查数据显示:某企业某种产品的质量指标值服从正态分布,从该企业生产的这种产品(数量很大)中抽取100件,测量这100件产品的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间,,内的频率之比为.
(1)求这100件产品质量指标值落在区间内的频率;
(2)根据频率分布直方图求平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若取这100件产品指标的平均值,从这种产品(数量很大)中任取3个,求至少有1个落在区间的概率.
参考数据:,若,则;;.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(α为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,点M的极坐标为,直线l的极坐标方程为.
(1)求直线l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;
(2)若N是曲线C上的动点,P为线段MN的中点,求点P到直线l的距离的最大值.
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