Question

在双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的两条渐近线上分别取点A、B，使得|

OA

|•|

OB

|=c²，则线段AB中点P的轨迹方程为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意可得双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，从而设A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；从而可得

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，化简可得|mn|=a²，令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，从而解得m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），从而解得

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

解答： 解：∵双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

b

a

x，
∴设A（m，

b

a

m），B（n，-

b

a

n）；
∴P（

m+n

2

，

b

a

（

m-n

2

））；
则由|

OA

|•|

OB

|=c²可得，

m2+ b2m2 a2

•

n2+ b2n2 a2

=c²，
即

c2

a2

|mn|=c²，
则|mn|=a²，
令

m+n

2

=x，

b

a

（

m-n

2

）=y，
则m=x+

a

b

y，n=（x-

a

b

y），
则上式可化为
|（x+

a

b

y）（x-

a

b

y）|=a²，
故

x2

a2

-

y2

b2

=1或

x2

a2

-

y2

b2

=-1．

点评：本题考查了双曲线的应用，同时考查了轨迹方程的求法，属于难题．