Question

5．（理科）已知函数f（x）=-6ln（ax+2）+$\frac{1}{2}$x²在x=2处有极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若直线y=kx与函数f′（x）有交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，由f′（2）=0，求出a的值，从而求出函数的单调区间；（Ⅱ）根据二次函数的性质求出k的范围即可．

解答 解：（Ⅰ）因为$f（x）=-6ln（ax+2）+\frac{1}{2}{x^2}$，
所以$f'（x）=-6•\frac{a}{ax+2}+x$
由f′（2）=0，可得 a=2，
经检验a=2时，函数f（x）在x=2处取得极值，
$f（x）=-6ln（2x+2）+\frac{1}{2}{x^2}$，${f^'}（x）=\frac{-6}{x+1}+x=\frac{{{x^2}+x-6}}{x+1}=\frac{（x+3）（x-2）}{x+1}$
而函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	（-1，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	极小值	↗

由表可知，f（x）的单调减区间为（-1，2），f（x）的单调增区间为（2，+∞）；
（Ⅱ）若f′（x）=kx，则有x²+x-6=kx²+kx，其中x＞-1，
所以（k-1）x²+（k-1）x+6=0有大于-1的根，
显然k≠1，设g（x）=（k-1）x²+（k-1）x+6，
则其对称轴为$x=-\frac{1}{2}$，根据二次函数的性质知道，
只要△=（k-1）²-24（k-1）≥0，
解得：k≥25或k＜1．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．