Question

3．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=10，a₂₀=20．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设${b_m}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}$，是否存在m、k（k＞m，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等差数列．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，由题意和等差数列的前n项和公式列出方程组，求出a₁、d的值，代入等差数列的通项公式求出a_n；
（2）假设存在m、k（k＞m，k，m∈N^*）满足题意，由等差中项的性质列出方程，由（1）化简${b}_{m}=\frac{{a}_{n}}{{a}_{n+1}}$，代入方程化简后求出m的范围，由条件分别求出m、k的值．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，则${S_n}=n{a_1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
由已知得，$\left\{{\begin{array}{l}{4{a_1}+\frac{4×3}{2}d=10}\\{{a_1}+19d=20}\end{array}}\right.$，解得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=1}\\{d=1}\end{array}}\right.$…（3分）
所以${a_n}={a_1}+（n-1）d=n（n∈{N^*}）$…（6分）
（2）假设存在m、k（k＞m，k，m∈N^*），使得b₁、b_m、b_k成等差数列，
则2b_m=b₁+b_k，由（1）得${b_m}=\frac{a_n}{{{a_{n+1}}}}=\frac{n}{n+1}$，
则${b_1}=\frac{1}{2}$，${b_m}=\frac{m}{m+1}$，${b_k}=\frac{k}{k+1}$．
所以$\frac{2m}{m+1}=\frac{1}{2}+\frac{k}{k+1}$…（8分）
化简得，$k=\frac{3m-1}{3-m}$，
因为k＞0，所以3-m＞0，解得1≤m＜3．
又m=1，k=1舍去，所以m=2，此时k=5．
故存在m=2，k=5，使得b₁、b_m、b_k成等差数列…（12分）

点评 本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式，以及等差中项的性质的应用，考查方程思想，化简、变形能力，属于中档题．