Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，PA⊥平面ABCD，AC⊥AB，点E是PD的中点．
（I）求证：PB⊥AC；
（Ⅱ）求证：PB∥平面ACE；
（Ⅲ）求三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）由已知得PA⊥AC，AC⊥平面PAB，由此能证明PB⊥AC．
（Ⅱ）连结BD，交AC于O，连结OE，由已知得PB∥OE，由此能证明PB∥面ACE．
（Ⅲ）取AD中点F，连接EF，则EF

∥

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1

2

PA，三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的高之比为1：2，S△ADC=

1

2

S平行四边形ABCD，由此能求出三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比．

解答： （Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC，
又∵AC⊥AB，PA∩AB=A，PA，AB?平面PAB，
∴AC⊥平面PAB，
又PB?平面PAB，∴PB⊥AC．
（Ⅱ）证明：连结BD，交AC于O，连结OE，
∵O为BD的中点，E为PD的中点，
在△PBD中，OE为△PBD的中位线，
∴PB∥OE，又OE?面ACE，PB?面ACE，
∴PB∥面ACE．
（Ⅲ）解：取AD中点F，连接EF，则EF

∥

.

1

2

PA，
∵PA⊥平面ABCD，∴EF⊥面ABC，
∴三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的高之比为1：2，
又S△ADC=

1

2

S平行四边形ABCD，
∴三棱锥E-ABC与四棱锥P-ABCD的体积之比为1：4．

点评：本题考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．