Question

12．求函数y=$\frac{sinx+1}{cosx-2}$的值域．

Answer 1

分析 $\frac{sinx+1}{cosx-2}$表示经过两点P（2，-1），Q（cosx，sinx）的斜率．利用直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式即可得出．

解答 解：$\frac{sinx+1}{cosx-2}$表示经过两点P（2，-1），Q（cosx，sinx）的斜率．
点Q的轨迹是单位圆．
设$\frac{sinx+1}{cosx-2}$=k，则直线PQ的方程为：y+1=k（x-2），化为：kx-y-2k-1=0，
∴$\frac{|-2k-1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤1，化为：3k²+4k≤0，解得$-\frac{4}{3}$≤k≤0，
∴函数y=$\frac{sinx+1}{cosx-2}$的值域为$[-\frac{4}{3}，0]$．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离公式、函数的值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．