【题目】已知在三棱锥中,
底面
,
,
,
是
的中点,
是线段
上的一点,且
,连接
.
(l)求证:平面
;
(2)求直线与平面
所成角的正切值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】分析:(1)求出AE=4.由勾股定理得BE=2.推导出AC是Rt△ABE的斜边BE上的中线,从而C是BE的中点.进而直线CD是Rt△ABE的中位线,CD∥AB.由此能证明CD∥平面PAB;
(2)以为原点,直线
分别为
轴,建立如下图所示的空间直角坐标系,求出直线
的方向向量与平面
的法向量,带入公式即可.
详解:(1)证明:因为,所以
.
又,
,
所以在中,由勾股定理,得
.
因为,
所以是
的斜边
上的中线.
所以是
的中点.
又因为是
的中点,
所以直线是
的中位线,所以
.
又因为平面
,
平面
,所以
平面
.
(2)解:以为原点,直线
分别为
轴,建立如下图所示的空间直角坐标系:
因为,且
分别是
的中点,
所以,
.所以点
,
,
,
,
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则
由得
得
所以令,得平面
的一个法向量为
;
设直线与平面
所成角的大小为
,则
.
又,所以根据同角三角函数的基本关系,得
.
所以.
故直线与平面
所成角的正切值为
.
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【题目】某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额商品后即可抽奖,每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.
(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;
(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】学校举办的集体活动中,设计了如下有奖闯关游戏:参赛选手按第一关、第二关、第三关的顺序依次闯关,若闯关成功,分别获得1分、2分、3分的奖励,游戏还规定,当选手闯过一关后,可以选择得到相应的分数,结束游戏;也可以选择继续闯下一关,若有任何一关没有闯关成功,则全部分数都归零,游戏结束。设选手甲第一关、第二关、第三关的概率分别为,
,
,选手选择继续闯关的概率均为
,且各关之间闯关成功互不影响
(I)求选手甲第一关闯关成功且所得分数为零的概率
(II)设该学生所得总分数为X,求X的分布列与数学期望
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【题目】已知平面五边形是轴对称图形(如图1),BC为对称轴,AD⊥CD,AD=AB=1,
,将此五边形沿BC折叠,使平面ABCD⊥平面BCEF,得到如图2所示的空间图形,对此空间图形解答下列问题.
(1)证明:AF∥平面DEC;
(2)求二面角的余弦值.
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【题目】已知函数,函数
.
Ⅰ
若函数
在
和
上单调性相反,求
的解析式;
Ⅱ
若
,不等式
在
上恒成立,求a的取值范围;
Ⅲ
已知
,若函数
在区间
内有且只有一个零点,试确定实数a的范围.
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【题目】南航集团与波音公司2018年2月在广州签署协议,双方合作的客改货项目落户广州空港经济区.根据协议,双方将在维修技术转让、支持项目、管理培训等方面开展战略合作.现组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次知识竞赛,将所得成绩制成如下频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试求受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上(含90分)的概率.
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【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.
(1)求证:PA⊥BD;
(2)求证:平面BDE⊥平面PAC;
(3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.
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【题目】小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制,5人坐成一排.若小明的父母至少有一人与他相邻,则不同坐法的总数为
A. 60 B. 72 C. 84 D. 96
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【题目】已知函数f(x)= 满足:f(1)=1,f(﹣2)=4.
(1)求a,b的值,并探究是否存在常数c,使得对函数f(x)在定义域内的任意x,都有f(x)+f(c﹣x)=4成立;
(2)当x∈[1,2]时,不等式f(x)≤ 恒成立,求实数m的取值范围.
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