Question

已知函数f（x）=

1

3

x³+ax²-4x+4的图象关于点（0，4）对称．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的极值；
（Ⅲ）求f（x）在区间[0，3]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由已知条件得到f（x）+f（-x）=8，令x=1，能求出a的值．
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-4x+4，f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），令f′（x）=0，得x=-2，x=2，由此列表讨论，能求出f（x）的极值．
（Ⅲ）由f（0）=4，f（3）=1，能求出f（x）在[0，3]上最大值和最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数y=f（x）的图象关于点（0，4）对称，
∴f（x）+f（-x）=8，
令x=1，得

1

3

+a-

1

3

+a+4+4=8，a=0．（3分）
（Ⅱ）f(x)=

1

3

x3-4x+4，f′（x）=x²-4=（x-2）（x+2），（4分）
令f′（x）=0，得x=-2，x=2，
当x＜-2或x＞2时，f′（x）＞0；
当-2＜x＜2时，f′（x）＜0，（6分）

x	（-∞，-2）	-2	（-2，2）	2	（2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	28 3	↘	- 4 3	↗

（8分）
∴当x=-2时，f（x）有极大值，为f(-2)=

28

3

；
当x=2时，f（x）有极小值f(2)=-

4

3

．（10分）
（Ⅲ）∵f（0）=4，f（3）=1，
由（2）知f（x）在[0，3]上最大值是4，最小值是-

4

3

．（12分）

点评：本题考查函数的极值和最值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．