Question

若函数f（x）在给定区间M上存在正数t，使得对于任意的x∈M，有x+t∈M，且f（x+t）≥f（x），则称f（x）为M上t级类增函数，则下列命题中正确的是（　　）

• A、函数f（x）=

  4

  x

  +x是（1，+∞）上的1级类增函数
• B、函数f（x）=|log₂（x-1）|是（1，+∞）上的1级类增函数
• C、若函数f（x）=sinx+ax为[

  π

  2

  ，+∞）上的

  π

  3

  级类增函数，则实数a的最小值为

  3

  π

• D、若函数f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，则实数t的取值范围为[2，+∞）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：在A中，f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立；
在B中，f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立；
在C中，函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，故

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，运用参数分离，求出最大值，只要a不小于最大值即可；
在D中，由f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，能导出实数t的取值范围为[1，+∞）．

解答： 解：∵f（x）=

4

x

+x，
∴f（x+1）-f（x）=

4

x+1

+x+1-

4

x

-x
=

4

x+1

-

4

x

+1≥0在（1，+∞）上不成立，故A不正确；
∵f（x）=|log₂（x-1）|，
∴f（x+1）-f（x）=|log₂x|-|log₂（x-1）|≥0在（1，+∞）上不恒成立，故B不正确；
∵函数f（x）=sinx+ax为[

π

2

，+∞）上的

π

3

级类增函数，
∴sin（x+

π

3

）+a（x+

π

3

）≥sinx+ax，
∴sinxcos

π

3

+cosxsin

π

3

+ax+

π

3

a≥sinx+ax，
∴

3

2

cosx+

π

3

a≥

1

2

sinx，

π

3

a≥

1

2

sinx-

3

2

cosx=sin（x-

π

3

），
而sin（x-

π

3

）≤1，即a≥

3

π

，
∴实数a的最小值为

3

π

，故C正确；
∵f（x）=x²-3x为[1，+∞）上的t级类增函数，
∴（x+t）²-3（x+t）≥x²-3x，
∴2tx+t²-3t≥0，
t≥3-2x，由于x∈[1，+∞），则3-2x≤1，故t≥1，故D错．
故选C．

点评：本题考查命题的真假判断，考查新定义，同时考查函数的性质及应用，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．