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    （2012•上饶一模）已知F是椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左焦点，A是椭圆短轴上的一个顶点，椭圆的离心率为
    1
    2
    ，点B在x轴上，AB⊥AF，A、B、F三点确定的圆C恰好与直线x+
    		3
    y+3=0    相切．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）设O为椭圆的中心，是否存在过F点，斜率为k（k∈R，l≠0）且交椭圆于M、N两点的直线，当从O点引出射线经过MN的中点P，交椭圆于点Q时，有
    OM
    +
    ON
    =
    OQ
    成立．如果存在，则求k的值；如果不存在，请说明理由．
    分析：（Ⅰ）求出直线AB的方程，从而确定圆心与半径r=a，利用圆C恰好与直线x+
    		3
    y+3=0    相切，建立方程，即可求得椭圆方程；
    （Ⅱ）假设k存在，将直线方程代入椭圆方程，求出P的坐标，利用
    OM
    +
    ON
    =2
    OP
    且
    OM
    +
    ON
    =
    OQ
    ，可得Q的坐标，代入椭圆方程，即可求得结论．
    解答：解：（Ⅰ）设A为椭圆的上顶点，则∵e=
    1
    2
    ，∴c=
    1
    2
    a    ，∴b=
    		3
    2
    a
    ∴F(-
    1
    2
    a，0)，A(0，
    		3
    2
    a)
    ∴kAF=
    		3
    2
    a-0
    0-(-
    1
    2
    a)
    =
    		3
    ，∴kAB=-
    		3
    3

    ∴lAB：y=-
    		3
    3
    x+
    		3
    2
    a
    令y=0，∴x=
    3
    2
    a    ，∴B(
    3
    2
    a，0)
    ∴圆心为(
    1
    2
    a，0)    ，半径r=a
    ∴圆心到直线x+
    		3
    y+3=0    的距离d=
    1
    2
    a+3
    2
    =a
    ∴a=2，∴b=
    		3
    ，∴椭圆方程为
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    …（6分）
    （Ⅱ）假设k存在，设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x0，y0）
    由
    y=k(x+1)
    3x2+4y2=12
    ，消去y可得：（3+4k2）x2+8k2x+（4k2-12）=0…（8分）
    ∴x1+x2=-
    8k2
    3+4k2
    ，∴xP=
    x1+x2
    2
    =-
    4k2
    3+4k2
    ，yP=k(xp+1)=
    3k
    3+4k2

    又∵
    OM
    +
    ON
    =2
    OP
    且
    OM
    +
    ON
    =
    OQ

    ∴
    OQ
    =2
    OP
    ，∴
    x0=2xp=
    -8k2
    3+4k2
    y0=2yp=
    6k
    3+4k2
    …（11分）
    又∵
    x
    2
    0
    4
    +
    y
    2
    0
    3
    =1    ，∴3(-
    8k2
    3+4k2
    )2+4(
    6k
    3+4k2
    )2=12
    ∴3×64k4+4×36k2=12（4k2+3）2
    ∴16k4+12k2=16k4+24k2+9
    ∴12k2+9=0，∴k无实数解，
    ∴不存在…（14分）
    点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，确定点的坐标是关键．
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    +
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    （2）存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根
    （3）存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根
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    y≥0
    x-y≥0
    2x-y-2≤0
    ，则ω=
    y-1
    x+1
    的取值范围是
    [-1，
    1
    3
    ]
    [-1，
    1
    3
    ]
    ．

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    （2012•上饶一模）f(x)=sin
    π
    3
    x-
    		3
    cos
    π
    3
    x    ，则f（1）+f（2）+…+f（2012）=
    		3
    		3
    ．

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    （2012•上饶一模）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=a，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
    （Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
    （Ⅱ）求三棱锥P-DEF的体积．

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