Question

15．如图，我海军舰队在亚丁湾执行护航任务中位于点A处南偏西38°的方向且距点A3海里的点B处，点A处一海盗船正挟持人质以10海里/时的速度向北偏西22°方向航行，现护航编队接到求救信号并开始对其进行拦截，假设成功拦截于点C处．
（1）护航编队朝何方向以多大速度才能恰好用30分钟成功拦截海盗船；
（2）求由AB，AC，BC围成海域的面积．
（参考数据：sin38°=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，sin22°=$\frac{3\sqrt{3}}{14}$）

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理求出BC，可得护航编队的速度，利用正弦定理可得∠ABC=38°，即可得出结论；
（2）利用三角形的面积公式求由AB，AC，BC围成海域的面积．

解答 解：（1）由题意，△ABC中，AB=3，AC=5，∠BAC=180°-38°-22°=120°，
∴由余弦定理可得BC=$\sqrt{9+25-2×3×5×cos120°}$=7，
∴护航编队的速度为$\frac{7}{\frac{1}{2}}$=14海里/时．
由正弦定理可得$\frac{5}{sin∠ABC}=\frac{7}{sin120°}$，∴sin∠ABC=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$，
∴∠ABC=38°，
∴护航编队朝正北方向，以14海里/时的速度才能恰好用30分钟成功拦截海盗船；
（2）由AB，AC，BC围成海域的面积S=$\frac{1}{2}×3×5×sin120°$=$\frac{15\sqrt{3}}{4}$平方海里．

点评 本题考查三角形中余弦定理、正弦定理的应用，考查三角形的面积公式，注意方位角的计算，考查计算能力．