Question

5．某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{8π}{3}$
Asin（ωx+φ）	0	3		-3	0

（1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x）的解析式；
（2）将y=f（x）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象．若y=g（x）图象的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0），求θ的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据条件求出A，ω和φ的值即可求出函数f（x）的解析式；
（2）由（Ⅰ）及函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律得$g（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}）$，令$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=2kπ-θ-\frac{π}{3}$，k∈Z，由题意$2kπ-θ-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$，解得θ的值．

解答 解：（1）根据表中已知数据，解得$A=3，ω=\frac{1}{2}，φ=\frac{π}{6}$．数据补全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11}{3}π$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

且函数表达式为$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$．
（2）由（Ⅰ）知$f（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}）$，得$g（x）=3sin（\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}）$．
因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．
令$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}θ+\frac{π}{6}=kπ$，解得$x=2kπ-θ-\frac{π}{3}$，k∈Z．
由于函数y=g（x）的图象关于点$（\frac{5π}{12}，0）$成中心对称，令$2kπ-θ-\frac{π}{3}=\frac{5π}{12}$，
解得$θ=2kπ-\frac{3π}{4}$，k∈Z．由θ＞0可知，当k=1时，θ取得最小值$\frac{5π}{4}$．

点评 本题主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的应用，属于基本知识的考查．