Question

19．在△ABC中，若sin B•sin C=cos²$\frac{A}{2}$，且sin²B+sin²C=sin²A，则△ABC是（　　）

• A． 等边三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 根据降次公式和三角形内角和消去A，结合正弦定理求解即可．

解答 解：由sin B•sin C=cos²$\frac{A}{2}$，
可得：sin B•sin C=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$cosA
?sin B•sin C=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$cos（B+C）
?sin B•sin C=$\frac{1}{2}$$+\frac{1}{2}$sin B•sin C-$\frac{1}{2}$cos B•cos C
?$\frac{1}{2}$cos B•cos C+$\frac{1}{2}$sin B•sin C=$\frac{1}{2}$
?cos（B-C）=1，
∴B=C，
由sin²B+sin²C=sin²A，
根据正余弦定理：可得b²+c²=a²．
综上可得：△ABC是等腰直角三角形．
故选：D．

点评 本题主要考查了降次公式和三角形内角和，正弦定理的灵活运用．属于基础题．