Question

8．如果${（2x+\sqrt{3}）^{21}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{21}}{x^{21}}$，那么${（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{21}}）^2}-$${（{a_0}+{a_2}+{a_4}+…+{a_0}）^2}$=（　　）

• A． 1
• B． -1
• C． 2
• D． -2

Answer 1

分析 在所给的等式中，分别令x=1、x=-1，可得2个式子，再把这2个式子相乘、变形可得要求式子的值．

解答 解：∵${（2x+\sqrt{3}）^{21}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{21}}{x^{21}}$，
∴令x=1，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₂₁=${（2+\sqrt{3}）}^{21}$  ①，
令x=-1，可得得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₂₁=${（-2+\sqrt{3}）}^{21}$ ②，
①乘以②可得 ${（{a_0}+{a_2}+{a_4}+…+{a_0}）^2}$-${{（a}_{1}{+a}_{3}+…{+a}_{21}）}^{2}$=-1，
那么${（{a_1}+{a_3}+{a_5}+…+{a_{21}}）^2}-$${（{a_0}+{a_2}+{a_4}+…+{a_0}）^2}$=1，
故选：A．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．