Question

17．已知函数f（x）=e^x
（Ⅰ）求曲线f（x）过O（0，0）的切线l方程；
（Ⅱ）求曲线f（x）与直线x=0，x=1及x轴所围图形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设切线l与曲线f（x）相切于P（t，e^t），运用导数的几何意义，可得切线的斜率，由两点的斜率公式，解方程可得t，即可得到斜率和切线方程；
（Ⅱ）由题意可得，所求图形面积为${∫}_{0}^{1}$e^xdx，求得被积函数，运用定积分公式，计算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）设切线l与曲线f（x）相切于P（t，e^t），
由f（x）的导数f′（x）=e^x，
切线斜率k=e^t=$\frac{{e}^{t}}{t}$，解得t=1，切线的斜率k为e，
故切线l的方程为y=ex；
（Ⅱ）由题意可得，所求图形面积为${∫}_{0}^{1}$e^xdx=e^x|${\;}_{0}^{1}$=e¹-e⁰=e-1．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，注意设出切点，考查不规则图形的面积的求法，注意运用定积分计算，考查化简整理的运算能力，属于中档题．