Question

5．已知数列{a_n}的各项都为正数，且对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$（k为常数）．
（1）若k=0，且a₁=1，-8a₂，a₄，a₆成等差数列，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（2）若$k={（{a_2}-{a_1}）^2}$，求证：a₁，a₂，a₃成等差数列；
（3）已知a₁=a，a₂=b（a，b为常数），是否存在常数λ，使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立？若存在．求出λ；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）当$k={（{a_2}-{a_1}）^2}$时，$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+{（{a_2}-{a_1}）^2}，n∈{N^*}$，令n=1，即可证明．
（3）存在常数$λ=\frac{{{a^2}+{b^2}-k}}{ab}$使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．证明如下：令${b_n}=\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$，对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$，可得$\frac{{a_{n+1}^2+{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{{a_{n+2}^2+{a_n}{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$，可得：b_n+1=b_n，n∈N^*，进而得出．

解答 解：（1）当k=0时，$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}，n∈{N^*}$，
∵a_n＞0，∴数列{a_n}为等比数列，设公比为q（q＞0），
∵-8a₂，a₄，a₆成等差数列，∴-8a₂+a₆=2a₄，∴$-8{a_2}+{a_2}{q^4}=2{a_2}{q^2}$，
∵a₂≠0，∴q⁴-2q²-8=0，∴q²=4，∴q=2．
∵a₁=1，数列{a_n}的前n项和${S_n}=\frac{{1-{2^n}}}{1-2}={2^n}-1$．
（2）当$k={（{a_2}-{a_1}）^2}$时，$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+{（{a_2}-{a_1}）^2}，n∈{N^*}$，
令n=1，则$a_2^2={a_1}{a_3}+{（{a_2}-{a_1}）^2}$，∴${a_1}{a_3}-2{a_1}{a_2}+{a_1}^2=0$，
∵a₁＞0，∴a₁+a₃-2a₂=0，∴a₁，a₂，a₃成等差数列．
（3）存在常数$λ=\frac{{{a^2}+{b^2}-k}}{ab}$使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．
证明如下：令${b_n}=\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$，∵对任意n∈N^*，都有$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$，①，
k为常数，∴$a_{n+2}^2={a_{n+1}}{a_{n+3}}+k$，②
②-①得：$a_{n+2}^2-a_{n+1}^2={a_{n+1}}{a_{n+3}}-{a_n}{a_{n+2}}$，∴$a_{n+1}^2+{a_{n+1}}{a_{n+3}}=a_{n+2}^2+{a_n}{a_{n+2}}$．
∵a_n＞0，∴a_n+1a_n+2＞0∴$\frac{{a_{n+1}^2+{a_{n+1}}{a_{n+3}}}}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}=\frac{{a_{n+2}^2+{a_n}{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}{a_{n+2}}}}$，
即：$\frac{{{a_{n+1}}+{a_{n+3}}}}{{{a_{n+2}}}}=\frac{{{a_n}+{a_{n+2}}}}{{{a_{n+1}}}}$，亦即：b_n+1=b_n，n∈N^*，
∴数列{b_n}为常数列，∴b_n=b₁，n∈N^*，
∵a₁=a，a₂=b，$a_{n+1}^2={a_n}{a_{n+2}}+k$，n∈N^*，
令n=1，则b²=aa₃+k，∴${a_3}=\frac{{{b^2}-k}}{a}$，∴${b_n}={b_1}=\frac{{{a_1}+{a_3}}}{a_2}=\frac{{{a^2}+{b^2}-k}}{ab}$，n∈N^*，
∴${a_n}+{a_{n+2}}=λ{a_{n+1}}?λ={b_n}=\frac{{{a^2}+{b^2}-k}}{ab}$，即存在常数$λ=\frac{{{a^2}+{b^2}-k}}{ab}$使得a_n+a_n+2=λa_n+1对任意n∈N^*都成立．

点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．