Question

15．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b²-a²=ac，则$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的取值范围为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）．

Answer 1

分析 先根据余弦定理得到c=2acosB+a，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin（B-A），根据三角形为锐角三角形，求得B=2A，以及A，B的范围，再利用商的关系、两角差的正弦公式化简所求的式子，由正弦函数的性质求出所求式子的取值范围．

解答 解：∵b²-a²=ac，
∴b²=a²+c²-2accosB=a²+ac，
∴c=2acosB+a，
∴sinC=2sinAcosB+sinA，
∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA=cosAsinB-sinAcosB=sin（B-A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A=B-A，
∴B=2A，
∴C=π-3A，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜2A＜\frac{π}{2}}\\{0＜π-3A＜\frac{π}{2}}\end{array}\right.$
∴A∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$），B∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
∴$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$=$\frac{sin（B-A）}{sinBsinA}$=$\frac{1}{sinB}$，
∵B∈（$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{2}$）
∴sinB=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
∴$\frac{1}{sinB}$=（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
∴$\frac{1}{tanA}$-$\frac{1}{tanB}$的范围为（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），
故答案为：（1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）

点评 本题考查了正弦定理，三角恒等变换中公式，以及正弦函数的性质，涉及知识点多、公式多，综合性强，考查化简、变形能力，属于中档题．