Question

已知l线的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，则直线l被圆C截得的线段的最短长度为

 

．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程

专题：坐标系和参数方程

分析：由l线的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），化为（2x+y-7）m+x+y-4=0，联立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，可得交点P（3，1）．由圆C的极坐标方程为ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，化为x²+y²-20=2x+4y，配方为（x-1）²+（y-2）²=25，可得圆心C（1，2），半径r=5．利用两点之间的距离公式可得|CP|．当直线CP⊥l时，直线l被圆C截得的线段的最短，且长度为2

r2-|CP|

2．

解答： 解：由l线的方程为：（2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0（m∈R），化为（2x+y-7）m+x+y-4=0，联立

2x+y-7=0 x+y-4=0

，解得

x=3 y=1

，得交点P（3，1）．
由圆C的极坐标方程为ρ²-20=2ρcosθ+4ρsinθ，化为x²+y²-20=2x+4y，配方为（x-1）²+（y-2）²=25，可得圆心C（1，2），半径r=5．
|CP|=

(1-3)2+(2-1)2

=

5

．
∴当直线CP⊥l时，直线l被圆C截得的线段的最短，且长度为2

r2-|CP|

2=2

52-( 5 )2

=4

5

．
故答案为：4

5

．

点评：本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线系的应用、两点之间的距离公式、圆的弦长公式，考查了推理能力和计算能力，属于难题．