Question

已知函数f（x）=log₂（-x²+ax+a），若f（x）＞1对一切x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：若f（x）＞1对一切x∈[1，2]恒成立，则-x²+ax+a＞2对一切x∈[1，2]恒成立，即a＞

x2+2

x+1

对一切x∈[1，2]恒成立，利用导数法求出

x2+2

x+1

在[1，2]上的最大值，可得答案．

解答： 解：∵函数f（x）=log₂（-x²+ax+a），
若f（x）＞1对一切x∈[1，2]恒成立，
则-x²+ax+a＞2对一切x∈[1，2]恒成立，
即a＞

x2+2

x+1

对一切x∈[1，2]恒成立，
令g（x）=

x2+2

x+1

，则g′（x）=

x2+2x-2

(x+1)2

，
当x∈[1，2]时，g′（x）＞0恒成立，
故g（x）=

x2+2

x+1

在[1，2]上单调递增，
故a＞g（2）=2，
即a＞2，
故答案为：a＞2

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，其中孤立参数法是最常用的方法，而解答的关键是将恒成立问题转化为最值问题．