Question

设等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）在a_n与a_n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成公差为d_n的等差数列（如：在a₁与a₂之间插入1个数构成第一个等差数列，其公差为d₁；在a₂与a₃之间插入2个数构成第二个等差数列，其公差为d₂，…以此类推），设第n个等差数列的和是A_n．是否存在一个关于n的多项式g（n），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立？若存在，求出这个多项式；若不存在，请说明理由；
（3）对于（2）中的数列d₁，d₂，d₃，…，d_n，…，这个数列中是否存在不同的三项d_m，d_k，d_p（其中正整数m，k，p成等差数列）成等比数列，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）n≥2时，由a_n+1=2S_n+2，得a_n=2S_n-1+
两式相减可得：a_n+1-a_n=2a_n，∴a_n+1=3a_n，即数列{a_n}的公比为3
∵n=1时，a₂=2S₁+2，∴3a₁=2a₁+2，解得a₁=2，
∴a_n=2×3^n-1；
（2）由（1）知a_n=2×3^n-1，a_n+1=2×3ⁿ，
因为a_n+1=a_n+（n+1）d_n，所以d_n=
第n个等差数列的和是A_n=（n+2）a_n+×=4（n+2）×3^n-1=（n+2）（n+1）d_n，
∴存在一个关于n的多项式g（n）=（n+2）（n+1），使得A_n=g（n）d_n对任意n∈N^*恒成立；
（3）假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列
则d_k²=d_md_p，即（）²=×
因为m，k，p成等差数列，所以m+p=2k①
上式可以化简为k²=mp②
由①②可得m=k=p这与题设矛盾
所以在数列{dn}中不存在三项d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列．
分析：（1）n≥2时，由a_n+1=2S_n+2，再写一式，两式相减，即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）先求得d_n，从而可得第n个等差数列的和A_n，由此可得结论；
（3）利用反证法．假设在数列{d_n}中存在d_m，d_k，d_p（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，由此可得m=k=p这与题设矛盾．
点评：本题考查数列通项公式的求解，考查等差数列的求和，考查反证法思想，确定数列的通项，利用数列的求和公式是关键．