Question

已知曲线C上任意一点P到两定点F₁(-1,0)与F₂(1,0)的距离之和为4．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M(-4,0)作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．
(ⅰ)证明：k·k_ON为定值；
(ⅱ)是否存在实数k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）;（2）(ⅰ）;(ⅱ）不存在．

试题分析：（1）由于曲线C上任意一点P到两定点F₁(-1,0)与F₂(1,0)的距离之和为4，结合椭圆的定义可知曲线Ｃ是以两定点F₁(-1,0)和F₂(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，从而可写出曲线C的方程；
（2）由已知可设出过点直线l的方程，并设出直线l与曲线C所有交点的坐标；然后联立直线方程与曲线C的方程，消去y就可获得一个关于x的一元二次方程，应用韦达定理就可写出两交点模坐标的和与积；(ⅰ)应用上述结果就可以用k的代数式表示出弦的中点坐标，这样就可求出ON的斜率，再乘以k就可证明k·k_ON为定值；(ⅱ）由F₁N⊥AC，得k_AC•k_FN= -1，结合前边结果就可将此等式转化为关于k的一个方程，解此方程，若无解，则对应直线不存在，若有解，则存在且对应直线方程很易写出来.
试题解析：（1）由已知可得：曲线Ｃ是以两定点F₁(-1,0)和F₂(1,0)为焦点，长轴长为４的椭圆，所以，故曲线C的方程为：.     4分
（2）设过点M的直线l的方程为y=k(x+4)，设B(x₁, y₁)，C(x₂, y₂）(x₂>y₂)．
(ⅰ)联立方程组，得，
则，            5分
故，，      7分
所以，所以k•k_ON=为定值.      8分
(ⅱ)若F₁N⊥AC，则k_AC•k_FN= -1，
因为F₁ (-1,0)，故，   10分
代入y₂=k(x₂+4)得x₂=-2-8k²，y₂="2k" -8k³，而x₂≥-2，故只能k=0，显然不成立，所以这样的直线不存在．                13分