Question

如图，设点A（x₀，y₀）为抛物线y2=

x

2

上位于第一象限内的一动点，点B（0，y₁）在y轴正半轴上，且|OA|=|OB|，直线AB交x轴于点P（x₂，0）．
（Ⅰ）试用x₀表示y₁；
（Ⅱ）试用x₀表示x₂；
（Ⅲ）当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标．

Answer 1

（Ⅰ）|OA|=

x 20 + y 20

=

x 20 + x0 2

=

1

2

4 x 20 +2x0

，
∴y1=|OB|=

1

2

4 x 20 +2x0

．
（Ⅱ）kAB=

y1-y0

-x0

，
=

1 2 4 x 20 +2x0 - x0 2

-x0

，
=

2x0 - 4x02+2x0

2x0

，
直线AB的方程为
y=

2x0 - 4x02+2x0

2x0

x+

1

2

4x02+2x0

，
令y=0，得
x2=

2x0+1+ 2x0+1

2

．
（Ⅲ）

lim

x→0+

x2=

lim

x→0+

2x0+1+ 2x0+1

2

=1，
故当点A沿抛物线无限趋近于原点O时，求点P的极限坐标是（1，0）．