Question

3．已知函数f（x）=e^x-mx²-2x
（1）若m=0，讨论f（x）的单调性；
（2）若$m＜\frac{e}{2}-1$，证明：当x∈[0，+∞）时，$f（x）＞\frac{e}{2}-1$．

Answer 1

分析 （1）当m=0时，f（x）=e^x-2x．f'（x）=e^x-2，根据导数的符号确定单调性；
（2）由f'（x）=e^x-2mx-2，$f''（x）={e^x}-2m＞{e^x}-2•\frac{e-2}{2}={e^x}-（e-2）$．可证得f'（x）单调递增．
又$f'（0）=1-2=-1＜0，f'（1）=e-2m-2＞e-2×（{\frac{e}{2}-1}）-2=0$，即存在唯一的x₀∈（0，1），使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$，得$f{（x）_{min}}={e^{x_0}}-\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}x_0^2-2{x_0}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}{e^{x_0}}-{x_0}$．利用导数可得$g（x）＞g（1）=\frac{e}{2}-1$，即可得证．

解答 解：（1）当m=0时，f（x）=e^x-2x．f'（x）=e^x-2，令f'（x）＞0，得x＞ln2．
易知f（x）在（-∞，ln2）上单调递减，f（x）在（ln2，+∞）上单调递增．
（2）证明：f'（x）=e^x-2mx-2，$f''（x）={e^x}-2m＞{e^x}-2•\frac{e-2}{2}={e^x}-（e-2）$．
当x∈[0，+∞）时，e^x≥1＞e-2，故f''（x）＞0，故f'（x）单调递增．
又$f'（0）=1-2=-1＜0，f'（1）=e-2m-2＞e-2×（{\frac{e}{2}-1}）-2=0$，
故存在唯一的x₀∈（0，1），使得f'（x₀）=0，即${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$，
且当x∈（0，x₀）时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减，
当x∈（x₀，+∞）时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增．
故$f{（x）_{min}}=f（{x_0}）={e^{x_0}}-mx_0^2-2{x_0}$．
因为x=x₀是方程${e^{x_0}}-2m{x_0}-2=0$的根，故$m=\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}$．
故$f{（x）_{min}}={e^{x_0}}-\frac{{{e^{x_0}}-2}}{{2{x_0}}}x_0^2-2{x_0}={e^{x_0}}-\frac{1}{2}{x_0}{e^{x_0}}-{x_0}$．
令$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}x{e^x}-x，x∈（0，\;1）$，$g'（x）=\frac{1}{2}{e^x}-\frac{1}{2}x{e^x}-1$，$g''（x）=-\frac{1}{2}x{e^x}＜0$．
故g'（x）在（0，1）上单调递减，故$g'（x）＜g'（0）=-\frac{1}{2}＜0$，
故g（x）在（0，1）上单调递减，
∴$g（x）＞g（1）=\frac{e}{2}-1$，故$f（x）＞\frac{e}{2}-1$．

点评 本题考查了导数的综合应用，考查了函数的单调性、最值问题，转化思想，属于难题．