Question

11．若数列{a_n}和{b_n}的项数均为n，则将$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$定义为数列{a_n}和{b_n}的距离．
（1）已知${a_n}={2^n}$，b_n=2n+1，n∈N^*，求数列{a_n}和{b_n}的距离d_n．
（2）记A为满足递推关系${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$的所有数列{a_n}的集合，数列{b_n}和{c_n}为A中的两个元素，且项数均为n．若b₁=2，c₁=3，数列{b_n}和{c_n}的距离大于2017，求n的最小值．
（3）若存在常数M＞0，对任意的n∈N^*，恒有$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}≤M$则称数列{a_n}和{b_n}的距离是有界的．若{a_n}与{a_n+1}的距离是有界的，求证：$\{a_n^2\}$与$\{a_{n+1}^2\}$的距离是有界的．

Answer 1

分析 （1）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为2ⁿ⁺¹-2，n²+2n，根据新定义求出即可；
（2）由数列的递推公式，即可求得a₂，a₃，a₄，a₅，求得A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，求得数列{b_n}和{c_n}规律，可知随着项数n越大，数列{b_n}和{c_n}的距离越大，由$\sum_{i=1}^4|{{b_i}-{c_i}}|=\frac{7}{3}$，根据周期的定义，求得n的最大值；
（3）根据新定义结合绝对值不等式，即可证明．

解答 解：（1）数列{a_n}和{b_n}的前n项和分别为2ⁿ⁺¹-2，n²+2n，
∴d_n=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$=|2ⁿ⁺¹-2-n²-2n|，
当n=1，2¹⁺¹-2-1²-2×1=-1
当n=2时，2²⁺¹-2-2²-2×2=-2
当n=3时，2³⁺¹-2-3²-2×3=-1
当n=4时，2⁴⁺¹-2-4²-2×4=6，
∴d_n=$\sum_{i=1}^n{|{a_i}-{b_i}|}$=|2ⁿ⁺¹-2-n²-2n|=$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}+2n+2-{2}^{n+1}，n≤3}\\{{2}^{n+1}-2-2n-{n}^{2}，n≥4}\end{array}\right.$
（2）设a₁=p，其中p≠0，且p≠±1，由${a_{n+1}}=\frac{{1+{a_n}}}{{1-{a_n}}}$，
∴a₂=$\frac{1+p}{1-p}$，a₃=-$\frac{1}{p}$，a₄=$\frac{p-1}{p+1}$，a₅=p，
∴a₁=a₅，
因此A中数列的项周期性重复，且间隔4项重复一次，
数列{b_n}中，${b_{4k-3}}=2，{b_{4k-2}}=-3，{b_{4k-1}}=-\frac{1}{2}，{b_{4k}}=\frac{1}{3}（k∈{N^*}）$，
数列{c_n}中，${c_{4k-3}}=3，{c_{4k-2}}=-2，{c_{4k-1}}=-\frac{1}{3}，{c_{4k}}=\frac{1}{2}（k∈{N^*}）$，
∵$\sum_{i=1}^{k+1}{|{b_i}-{c_i}|}≥\sum_{i=1}^k{|{b_i}-{c_i}|}$
∴项数n越大，数列{b_n}和{c_n}的距离越大．
∵$\sum_{i=1}^4|{{b_i}-{c_i}}|=\frac{7}{3}$，
而$\sum_{i=1}^{3456}|{{b_i}-{c_i}}|=\sum_{i=1}^{4×864}|{{b_i}-{c_i}}|$=$\frac{7}{3}×864=2016$，|c₁-b₁|=1，|c₂-b₂|=1
因此，当n=3457时，$\sum_{i=1}^{3457}{|{b_i}-{c_i}|}=2017$，当n=3458时，$\sum_{i=1}^{3458}{|{b_i}-{c_i}|}=2018$，
故n的最小值为3458．
（3）证明：∵{a_n}与{a_n+1}的距离是有界的，
∴存在正数M，对任意的n∈N^*，有|a_n-a_n-1|+|a_n-1+a_n-2|+…+|a₂-a₁|≤M，
∵|a_n|=|a_n-a_n-1+a_n-1+a_n-2+…+a₂-a₁+a₁|≤|a_n-a_n-1|+|a_n-1+a_n-2|+…+|a₂-a₁|+|a₁|≤|M+|a₁|，
记|≤|M+|a₁|，则有|a_n+1²-a_n²|=|（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）|≤|a_n+1-a_n|（|a_n+1|+|a_n|）≤2K|a_n+1-a_n|，
∴|a_n+1²-a_n²|+|a_n²-a_n-1²|+…+|a₂²-a₁²|≤2KM，
故$\{a_n^2\}$与$\{a_{n+1}^2\}$的距离是有界的．

点评 本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题．