Question

6．（Ⅰ）求函数f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$的最大值M．
（Ⅱ）是否存在满足a²+b²≤c≤M的实数a，b，c使得2（a+b+c）+1≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$≤$\frac{|3x+2+1-2x|}{|x+3|}$=1即可，
（Ⅱ）由2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥2[a+b+$\frac{（a+b）^{2}}{2}$]+1=（a+b+1）²≥0，即可判定．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{|3x+2|-|1-2x|}{|x+3|}$≤$\frac{|3x+2+1-2x|}{|x+3|}$=1，
当且仅当x$≤-\frac{2}{3}$或x$≥\frac{1}{2}$时，等号成立，∴最大值M=1．
（Ⅱ）2（a+b+c）+1≥2（a+b+a²+b²）+1≥2[a+b+$\frac{（a+b）^{2}}{2}$]+1=（a+b+1）²≥0，
当且仅当a=b=-$\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}$时取等，
所以存在满足a²+b²≤c≤M的实数a，b，c使得2（a+b+c）+1≥0．

点评 本题考查了绝对值不等式的性质，基本不等式的应用，属于中档题．