Question

2．已知球O是某几何体的外接球，而该几何体是由一个侧棱长为2$\sqrt{5}$的正四棱锥S-ABCD与一个高为6的正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁拼接而成，则球O的表面积为（　　）

• A． $\frac{100π}{3}$
• B． 64π
• C． 100π
• D． $\frac{500π}{3}$

Answer 1

分析 设球的半径为R，AB=2x，S到平面ABCD的距离为$\sqrt{20-2{x}^{2}}$，列出半径的表达式，由勾股定理可得R²=3²+2x²，由此求出R，即可求出球的表面积．

解答 解：设球的半径为R，AB=2x，$\frac{1}{2}AC$=$\sqrt{2}x$，
则球心到平面A₁B₁C₁D₁的距离为3，
几何体是由一个侧棱长为2$\sqrt{5}$的正四棱锥S-ABCD
S到平面ABCD的距离为$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}-（\sqrt{2}x）^{2}}$=$\sqrt{20-2{x}^{2}}$，
则：$\sqrt{20-2{x}^{2}}$+3=R，
又勾股定理可得R²=3²+2x²，
∴R=5，x=2$\sqrt{2}$
∴球的表面积为4πR²=100π．
故选：C．

点评 本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．