Question

12．在极坐标系中，曲线C₁：ρsin²θ=4cosθ．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系xOy，曲线C₂的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$，（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x={x}_{0}+\frac{1}{2}t}\\{y={y}_{0}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
（Ⅰ）求C₁的直角坐标方程；
（Ⅱ）C与C₁相交于A，B，与C₂相切于点Q，求|AQ|-|BQ|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲线C₁的直角坐标方程．
（Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），由题意知直线C的斜率k=$\sqrt{3}$，从而$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．设A，B对应的参数分别为t₁，t₂．把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入y²=4x，得3t²-（8+2$\sqrt{3}$）t-8$\sqrt{3}+1$=0，由此利用韦达定理能求出|AQ|-|BQ|．

解答 解：（Ⅰ）∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ=4cosθ，得ρ²sin²θ=4ρcosθ，
∴曲线C₁的直角坐标方程为：y²=4x．
（Ⅱ）设Q（cosθ，sinθ），（θ∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]），由题意知直线C的斜率k=$\sqrt{3}$，
所以${k}_{OQ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$，即$\frac{sinθ}{cosθ}$=tanθ=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
所以$θ=-\frac{π}{6}$，故Q（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{1}{2}$）．
取${x}_{0}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，${y}_{0}=-\frac{1}{2}$，不妨设A，B对应的参数分别为t₁，t₂．
把$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，代入y²=4x，
化简得$\frac{3{t}^{2}}{4}=4（2+\frac{t}{2}）$，即3t²-（8+2$\sqrt{3}$）t-8$\sqrt{3}+1$=0，
∵C与C₁相交于A，B，∴△＞0，t₁+t₂=$\frac{8+2\sqrt{3}}{3}$．
∴|AQ|-|BQ|=|t₁+t₂|=$\frac{8+2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查曲线的直角坐标的求法，考查两线段之差的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．