Question

17．在△ABC中，设边a，b，c所对的角分别为A，B，C，且a＞c．已知△ABC的面积为$2\sqrt{2}$，$sin（A-B）+sinC=\frac{2}{3}sinA$，b=3．
（Ⅰ）求a，c的值；
（Ⅱ）求sin（B-C）的值．

Answer 1

分析 （1）由$sin（A-B）+sinC=\frac{2}{3}sinA$，得sinAcosB-cosAsinB+sin（A+B）=$\frac{2}{3}sinA$，即．sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$由余弦定理得：${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{2}{3}ac=9$…①，又s_△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB=2\sqrt{2}$，∴ac=6…②，由①②解得a，c
（Ⅱ）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{7}{9}$，则sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．即可得sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC的值．

解答 解：（Ⅰ）由$sin（A-B）+sinC=\frac{2}{3}sinA$，得sinAcosB-cosAsinB+sin（A+B）=$\frac{2}{3}sinA$
即2sinAcosB=$\frac{2}{3}sinA$，∵sinA≠0，∴$cosB=\frac{1}{3}$．sinB=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由余弦定理得：${b}^{2}={a}^{2}+{c}^{2}-2ac•cosB={a}^{2}+{c}^{2}-\frac{2}{3}ac$
⇒${a}^{2}+{c}^{2}-\frac{2}{3}ac=9$…①
又∵s_△ABC=$\frac{1}{2}ac•sinB=2\sqrt{2}$，∴ac=6…②
由①②解得$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{c=2}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∵a＞c，∴a=3，c=2
（Ⅱ）由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}=\frac{7}{9}$，则sinC=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．
∴sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{7}{9}-\frac{1}{3}×\frac{4\sqrt{2}}{9}=\frac{10\sqrt{2}}{27}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．