Question

7．一个多面体的直观图及三视图如图所示，M、N分别为A₁B，B₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：MN∥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求证：MN⊥平面A₁BC；
（Ⅲ）求二面角C-AB₁-C₁的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别连结AB₁与AC₁，推导出MN∥AC₁，由此能证明MN∥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明MN⊥平面A₁BC．
（Ⅲ）分别求出平面AB₁C的法向量和平面AB₁C₁的法向量，利用向量法能求出二面角C-AB₁-C₁的大小．

解答 证明：（Ⅰ）如图，分别连结AB₁与AC₁，
∵M、N分别为A₁B，B₁C₁的中点，∴MN∥AC₁，
∵MN?平面A₁ACC₁，AC₁?平面A₁ACC₁，
∴MN∥平面A₁ACC₁．
（Ⅱ）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
则B₁（0，1，1），A（1，0，0），C₁（0，0，1），C（0，0，0），A₁（1，0，1），
M（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$），N（0，$\frac{1}{2}$，1），
$\overrightarrow{MN}$=（-$\frac{1}{2}$，0，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{C{A}_{1}}$=（1，0，1），$\overrightarrow{CB}$=（0，1，0），
∴$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{C{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{CB}$=0，
∴MN⊥CA₁，MN⊥CB，
又CA₁∩CB=C，∴MN⊥平面A₁BC．
解：（Ⅲ）$\overrightarrow{CA}$=（1，0，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，1，1），
设平面AB₁C的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，-1），
又$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，0，1），
设平面AB₁C₁的法向量为$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-a+b+c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-a+c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，1，0），
设二面角C-AB₁-C₁的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1}{\sqrt{2}•\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=$\frac{π}{3}$．
∴二面角C-AB₁-C₁的大小为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，考查化归与转化思想，是中档题．