Question

9．已知不等式|2x-3|+x-6≥0的解集为M．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当a，b∈M时，证明：$|\frac{a}{3}+\frac{3}{b}|≥|\frac{a}{b}+1|$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）化为分段函数，原不等式等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{3x-9≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＜\frac{3}{2}}\\{-3-x≥0}\end{array}}\right.$，解得即可，
（Ⅱ）利用平方后作差法，借助于不等式的性质即可证明

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=|2x-3|+x-6=\left\{{\begin{array}{l}{3x-9，x≥\frac{3}{2}}\\{-3-x，x＜\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$，
则原不等式等价于$\left\{{\begin{array}{l}{x≥\frac{3}{2}}\\{3x-9≥0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{x＜\frac{3}{2}}\\{-3-x≥0}\end{array}}\right.$，
解得x≥3或x≤-3，
则M={x|x≥3或x≤-3}；
（Ⅱ）$|\frac{a}{3}+\frac{3}{b}{|^2}-|\frac{a}{b}+1{|^2}=（\frac{a^2}{9}+\frac{9}{b^2}+\frac{2a}{b}）-（\frac{a^2}{b^2}+\frac{2a}{b}+1）$=$\frac{a^2}{9}+\frac{9}{b^2}-\frac{a^2}{b^2}-1=\frac{{{a^2}-9}}{9}+\frac{{9-{a^2}}}{b^2}=\frac{{（{a^2}-9）（{b^2}-9）}}{{9{b^2}}}$，
∵a，b∈M，
∴a²≥9，b²≥9
∴$|\frac{a}{3}+\frac{3}{b}{|^2}-|\frac{a}{b}+1{|^2}≥0$，
∴$|\frac{a}{3}+\frac{3}{b}|≥|\frac{a}{b}+1|$．

点评 本题考查不等式的证明，涉及含有绝对值的表达式的解法、不等式的性质等基础知识，注意解题方法的积累，属于中档题．