Question

20．将圆x²+y²-2x=0向左平移一个单位长度，再把所得曲线上每一点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的$\sqrt{3}$倍得到曲线C．
（1）写出曲线C的参数方程；
（2）以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，若A，B分别为曲线C及直线l上的动点，求|AB|的最小值．

Answer 1

分析 （1）将圆方程转化成标准方程，根据坐标变换，即可求得曲线C的方程，即可求得参数方程；
（2）由直线l的极坐标方程求得直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，辅助角公式及正弦函数的性质，即可求得|AB|的最小值．

解答 解：（1）圆x²+y²-2x=0的标准方程为（x-1）²+y²=1，向左平移一个单位后，所得曲线的方程为x²+y²=1，（2分）
把曲线x²+y²=1上每一点的横坐标变为原来的$\sqrt{3}$倍（纵坐标不变），得到曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1，
故曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$（α为参数）．---------------------（5分）
（2）由ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，得ρcos θ+ρsin θ=3，
由x=ρcos θ，y=ρsin θ，可得直线l的直角坐标方程为x+y-3=0，-------------（7分）
所以曲线C上的点到直线l的距离d=$\frac{丨\sqrt{3}cosα+sinα-3丨}{\sqrt{2}}$═$\frac{丨2sin（α+\frac{π}{3}）-3丨}{\sqrt{2}}$≥$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
所以丨AB丨≥$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即当α=$\frac{π}{6}$时，丨AB丨取得最小值$\frac{\sqrt{2}}{2}$．--------------------------（10分）

点评 本题考查圆的极坐标方程，椭圆的参数方程，点到直线的距离公式，辅助角公式及正弦函数的性质，考查计算能力，属于中档题．