Question

15．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且（a+c）²=b²+3ac．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若b=2，且sinB+sin（C-A）=2sin2A，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）整理已知等式可得a²+c²-b²=ac，由余弦定理可得cosB=$\frac{1}{2}$，结合范围B∈（0，π），可求B的值．
（Ⅱ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：cosA（sinC-2sinA）=0，可得cosA=0，或sinC=2sinA，
分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵（a+c）²=b²+3ac，
∴可得：a²+c²-b²=ac，
∴由余弦定理可得：cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B∈（0，π），
∴B=$\frac{π}{3}$．…6分
（Ⅱ）∵sinB+sin（C-A）=2sin2A，
∴sin（C+A）+sin（C-A）=2sin2A，
∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA-cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC-2sinA）=0，
∴cosA=0，或sinC=2sinA，
∴当cosA=0时，A=$\frac{π}{2}$，可得c=$\frac{b}{tanB}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$，可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$•b•c=$\frac{1}{2}×2×\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；
当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a²+c²-ac=a²+4a²-2a²=3a²，
解得：a=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，c=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}×$$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．…12分

点评 本题主要考查了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．