Question

7．已知{a_n}，{b_n}是公差分别为d₁，d₂的等差数列，且A_n=a_n+b_n，B_n=a_nb_n．若A₁=1，A₂=3，则A_n=2n-1；若{B_n}为等差数列，则d₁d₂=0．

Answer 1

分析 由{a_n}，{b_n}是公差分别为d₁，d₂的等差数列，且A_n=a_n+b_n，得数列{A_n}是等差数列，再由已知求其公差，代入等差数列的通项公式可得A_n；利用等差数列的定义可得d₁d₂=0．

解答 解：∵{a_n}，{b_n}是公差分别为d₁，d₂的等差数列，且A_n=a_n+b_n，
∴数列{A_n}是等差数列，又A₁=1，A₂=3，
∴数列{A_n}的公差d=A₂-A₁=2．
则A_n=1+2（n-1）=2n-1；
∵B_n=a_nb_n，且{B_n}为等差数列，
∴B_n+1-B_n=a_n+1b_n+1-a_nb_n =（a_n+d₁）（b_n+d₂）-a_nb_n
=a_nd₂+b_nd₁+d₁d₂=[a₁+（n-1）d₁]d₂+[b₁+（n-1）d₂]d₁+d₁d₂
=a₁d₂+b₁d₁-d₁d₂+2d₁d₂n为常数．
∴d₁d₂=0．
故答案为：2n-1；0．

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的通项公式，是中档题．