Question

12．直线$\left\{\begin{array}{l}x=tcos{75°}\\ y=tsin{75°}\end{array}$（t为参数）与曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3sinθ\\ y=2cosθ\end{array}$（θ为参数）的公共点个数是2．

Answer 1

分析 求出直线和曲线的直角坐标方程，联立方程组，利用根的判别式能求出结果．

解答 解：直线$\left\{\begin{array}{l}x=tcos{75°}\\ y=tsin{75°}\end{array}$（t为参数）消去数得：y=tan75°x=（2+$\sqrt{3}$）x，
曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3sinθ\\ y=2cosθ\end{array}$（θ为参数）消去参数得：$\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\\{y=（2+\sqrt{3}）x}\end{array}\right.$，得（67+36$\sqrt{3}$）x²=36，
△＞0，∴直线$\left\{\begin{array}{l}x=tcos{75°}\\ y=tsin{75°}\end{array}$（t为参数）与曲线$\left\{\begin{array}{l}x=3sinθ\\ y=2cosθ\end{array}$（θ为参数）的公共点个数是2．
故答案为：2．

点评 本题考查直线与曲线的公共点的个数的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．