Question

6．已知⊙O：x²+y²=1与x轴的两个交点为F₁，F₂，经过F₁的光线经过直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）反射后经过F₂，且经过F₁的光线与l的交点为E，则以F₁，F₂为焦点，且经过点E的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

Answer 1

分析 根据题意，求出，⊙O：x²+y²=1与x轴的两个交点，可以设出F₁、F₂的坐标，同时设椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，再依据题意设点P与F₁关于直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）对称，且P的坐标为（m，n），分析可得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，解可得m、n的值，即可得P的坐标，结合光学知识由椭圆的定义结合光学知识分析可得2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|，有P、F₂的坐标计算可得a的值，由椭圆的几何性质可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案．

解答 解：根据题意，⊙O：x²+y²=1与x轴的两个交点为（-1，0），（1，0），
设F₁（-1，0），F₂（1，0），
要求椭圆的焦点为F₁、F₂，设其方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
设点P与F₁关于直线l：y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$（x+4）对称，且P的坐标为（m，n），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m+1}=-\sqrt{3}}\\{\frac{n}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}（\frac{m-1}{2}+4）}\end{array}\right.$，
解可得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{5}{2}}\\{n=\frac{3\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，
即P的坐标为（-$\frac{5}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
椭圆经过点E，则有2a=|EF₁|+|EF₂|，
又由点P与F₁关于直线l对称，且经过F₁的光线与l的交点为E，则|EP|=|EF₁|，
则2a=|EF₁|+|EF₂|=|EP|+|EF₂|=|PF₂|=$\sqrt{（1+\frac{5}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\sqrt{19}$，
则a=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
又椭圆的半焦距c=1，则b²=a²-c²=$\frac{19}{4}$-1=$\frac{15}{4}$；
则椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1；
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{\frac{19}{4}}$+$\frac{{y}^{2}}{\frac{15}{4}}$=1．

点评 本题考查椭圆的定义、标准方程，涉及直线间的位置关系，注意利用点关于直线对称的性质进行分析．