Question

11．以椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点为焦点的双曲线，如果离心率为2，那么该曲线的渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x．

Answer 1

分析 根据题意，由椭圆的标准方程计算可得椭圆的焦点坐标，结合题意设双曲线的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，分析可得a²+b²=16，①和e=$\frac{c}{a}$=2②；解可得a、b的值，由双曲线的渐近线方程计算可得答案．

解答 解：根据题意，椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1的焦点坐标为（±4，0），
若双曲线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}$=1有相同焦点，则可以设其标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，
且其中c=4，即a²+b²=16，①
又由其离心率e=2，则有e=$\frac{c}{a}$=2，②
解可得a=2，b=2$\sqrt{3}$，
则其渐近线方程为y=±$\sqrt{3}$x，
故答案为：y=±$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查双曲线、椭圆的标准方程，几何性质，注意要先分析椭圆双曲线的焦点位置．