Question

等差数列{a_n}中，a₁＜0,S₉=S₁₂,该数列前多少项的和最小？

Answer 1

该数列前10项或前11项的和最小

由条件S₉=S₁₂可得
9a₁+d=12a₁+d，即d=-a₁.
由a₁＜0知d＞0,即数列{a_n}为递增数列.
方法一 由，
得,解得10≤n≤11.
∴当n为10或11时，S_n取最小值，
∴该数列前10项或前11项的和最小.
方法二 ∵S₉=S₁₂，∴a₁₀+a₁₁+a₁₂=3a₁₁=0，∴a₁₁=0.
又∵a₁＜0,∴公差d＞0，从而前10项或前11项和最小.
方法三 ∵S₉=S₁₂，
∴S_n的图象所在抛物线的对称轴为x==10.5,
又n∈N^*，a₁＜0,∴{a_n}的前10项或前11项和最小.
方法四 由S_n=na₁+d=+n，
结合d=-a₁得
S_n=·n²+·n
=-+a₁（a₁＜0），
由二次函数的性质可知n==10.5时，S_n最小.
又n∈N^*，故n=10或11时S_n取得最小值.