双曲线的离心率为2,坐标原点到直线AB的距离为,其中A,B.
(1)求双曲线的方程;
(2)若B1是双曲线虚轴在轴正半轴上的端点,过B1作直线与双曲线交于两点,求时,直线的方程.
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(12分)抛物线的焦点为,过点的直线交抛物线于,两点.
①为坐标原点,求证:;
②设点在线段上运动,原点关于点的对称点为,求四边形面积的最小值..
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(12分)在平面直角坐标系O中,直线与抛物线=2相交于A、B两点.
(Ⅰ)求证:命题“如果直线过点T(3,0),那么=3”是真命题;
(Ⅱ)写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由.
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(本小题满分12分)已知顶点在坐标原点,焦点在轴正半轴的抛物线上有一点,点到抛物线焦点的距离为1.(1)求该抛物线的方程;(2)设为抛物线上的一个定点,过作抛物线的两条互相垂直的弦,,求证:恒过定点.(3)直线与抛物线交于,两点,在抛物线上是否存在点,使得△为以为斜边的直角三角形.
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(本小题满分14分) 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A、B、C三点,过坐标原点O的直线与抛物线交于M、N两点.分别过点C、D作平行于轴的直线、.(1)求抛物线对应的二次函数的解析式;(2)求证:以ON为直径的圆与直线相切;(3)求线段MN的长(用表示),并证明M、N两点到直线的距离之和等于线段MN的长.
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在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.
(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
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如图,曲线是以原点O为中心、为焦点的椭圆的一部分,曲线是以O为顶点、为焦点的抛物线的一部分,A是曲线和的交点且
为钝角.
(1)求曲线和的方程;
(2)过作一条与轴不垂直的直线,分别与曲线依次交于B、C、D、E四点,若G为CD中点、H为BE中点,问是否为定值?若是求出定值;若不是说明理由.
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