Question

12．已知抛物线y²=2px（p＞0），若定点（2p，1）与直线kx+y+2k+2=0距离的最大值是5，则p的值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由kx+y+2k+2=0得直线过定点A（-2，-2），若定点（2p，1）与直线kx+y+2k+2=0距离的最大值是5，等价为AP垂直直线时，建立方程关系进行求解即可．

解答 解：由kx+y+2k+2=0得k（x+2）+y+2=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+2=0}\\{y+2=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-2}\end{array}\right.$，
即直线kx+y+2k+2=0过定点A（-2，-2），∵定点P（2p，1），
∴当AP垂直直线kx+y+2k+2=0时，距离最大，
此时最大值为$\sqrt{（2p+2）^{2}+（-2-1）^{2}}$=5，
即（2p+2）²+9=25，
即（2p+2）²=16，
得2p+2=4，得p=1，
故选：A

点评 本题主要考查抛物线性质的应用，根据直线过定点，得到AP垂直于直线时，距离最大是解决本题的关键．