Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则

f(1)

f′(0)

的最小值为（　　）

• A、3
• B、

  5

  2

• C、2
• D、

  3

  2

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由f（x）的值域为[0，+∞），可得对于任意实数x，f（x）≥0成立求出a的范围及a，b c的关系，求出f（1）及f′（0），作比后放缩去掉c，通分后利用基本不等式求最值．

解答： 解：∵f（x）的值域为[0，+∞），
即f（x）≥0恒成立，
∴

a＞0 △=b2-4ac=0

，
∴c=

b2

4a

．
又f′（x）=2ax+b，
∴f′（0）=b＞0，f（1）=a+b+c．
∴

f(1)

f′(0)

=1+

a+c

b

=1+

a+ b2 4a

b

=1+

4a2+b2

4ab

≥1+

2• 4a2•b2

4ab

=2．
当且仅当4a²=b²时，“=”成立．
即

f(1)

f(0)

的最小值为2
故选：C．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了导数的运算，训练了利用基本不等式求最值，关键是通过放缩转化为含有两个变量的代数式，是中档题．