Question

已知直线l：y=2x与抛物线C：y=

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4

x2交于A（x_A，y_A）、O（0，0）两点，过点O与直线l垂直的直线交抛物线C于点B（x_B，y_B）．如图所示．
（1）求抛物线C的焦点坐标；
（2）求经过A、B两点的直线与y轴交点M的坐标；
（3）过抛物线y=

1

4

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点A、B的直线AB是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）抛物线C：y=

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4

x2的方程化为标准形式，由此能求出抛物线C的焦点坐标．
（2）联立方程组

y= 1 4 x2 y=2x

，求出点A坐标．联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 2 x

，求出点B坐标．由此求出直线AB的方程，从而能求出点M的坐标．
（3）结论：过抛物线y=

1

4

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点（0，4）．设过抛物线y=

1

4

x2的顶点的一条直线为y=kx（k≠0），另一条为y=-

1

k

x，联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，求出点A坐标．联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，求出点B坐标为（-

4

k

，

4

k2

），由此求出直线AB的方程，从而能证明直线AB恒过定点（0，4）．

解答： 解：（1）抛物线C：y=

1

4

x2的方程化为x²=4y，
∴2p=4，p=2．…（2分）
∴抛物线C的焦点坐标为（0，1）．…（4分）
（2）联立方程组

y= 1 4 x2 y=2x

，解得点A坐标为（8，16）．…（6分）
联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 2 x

，解得点B坐标为（-2，1）．…（7分）
所以直线AB的方程为y-1=

16-1

8-(-2)

•(x+2)，…（8分）
令x=0，解得y=4．
∴点M的坐标为（0，4）．…（9分）
（3）结论：过抛物线y=

1

4

x2的顶点任意作两条互相垂直的直线，
过这两条直线与抛物线的交点的直线AB恒过定点（0，4）．…（10分）
证明如下：
设过抛物线y=

1

4

x2的顶点的一条直线为y=kx（k≠0），
则另一条为y=-

1

k

x，
联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，解得点A坐标为（4k，4k²）．…（11分）
联立方程组

y= 1 4 x2 y=- 1 k x

，解得点B坐标为（-

4

k

，

4

k2

）．…（12分）
所以直线AB的方程为y-

4

k2

=

4k2- 4 k2

4k-(- 4 k )

•(x+

4

k

)，…（13分）
令x=0，解得y=4．
∴直线AB恒过定点（0，4）．…（14分）

点评：本题考查抛物线的焦点坐标的求法，考查直线与y轴交点坐标的求法，考查直线是否过定点的判断与证明，解题时要熟练掌握抛物线与直线的位置关系的应用．