Question

15．设f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，且当x∈（0，1]时，g（x）=lnx-ax²．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若对于区间（0，1]上任意的x，都有|f（x）|≥1成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数，函数g（x）与f（x）的图象关于y轴对称，分别得到x∈（0，1]时，x=0，x∈[-1，0）时d的解析式；
（2）由（1）知f（x）在（0，1]的导数，讨论a，分别求f（x）的最小值，结合|f（x）|≥1成立，得到a的范围．

解答 解：（1）∵g（x）的图象与f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）的图象上任意一点P（x，y）关于y轴对称的对称点Q（-x，y）在g（x）的图象上．
当x∈[-1，0）时，-x∈（0，1]，则f（x）=g（-x）=ln（-x）-ax²．
∵f（x）为[-1，1]上的奇函数，则f（0）=0．
当x∈（0，1]时，-x∈[-1，0），f（x）=-f（-x）=-lnx+ax²．
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{ln（-x）-a{x}^{2}，-1≤x＜0}\\{0，x=0}\\{-lnx+a{x}^{2}，0＜x≤1}\end{array}\right.$．
（2），由（1）知，当x∈（0，1]时f'（x）=-$\frac{1}{x}$+2ax．
①若f'（x）≤0在（0，1]恒成立，则$-\frac{1}{x}+2ax≤$0，得到a$≤\frac{1}{2{x}^{2}}$，所以a$≤\frac{1}{2}$．
f（x）在（0，1]上单调递减，f（x）_min=f（1）=a，
∴f（x）的值域为[a，+∞）与|f（x）|≥1矛盾．
②当a＞$\frac{1}{2}$时，令f'（x）=$-\frac{1}{x}$+2ax=0得到x=$\sqrt{\frac{1}{2a}}$∈（0，1]，
∴当x∈（0，$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x∈（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$，1]时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
∴f（x）_min=f（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）=-ln$\sqrt{\frac{1}{2a}}$+a（$\sqrt{\frac{1}{2a}}$）²=$\frac{1}{2}$ln（2a）+$\frac{1}{2}$．
由|f（x）|≥1，得$\frac{1}{2}$ln（2a）+$\frac{1}{2}$≥1得到a$≥\frac{e}{2}$．
综上所述，实数a的取值范围为a$≥\frac{e}{2}$．

点评 不同考查了函数解析式的求法以及恒成立问题的解答；关键是正确讨论a的取值，求f（x）的最小值，进而求a的范围．