Question

1．已知函数f（x）=-x²+（m-2）x+2．
（1）当x∈R时，f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）≤m恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当x∈R时，f（x）≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，则△=（m-2）²+4（2-m）≤0，解得实数m的取值范围．
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，令g（x）=-x²+（m-2）x+2-m，则$\left\{\begin{array}{l}g（-1）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，解得实数m的取值范围．

解答 解：（1）当x∈R时，f（x）≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2-m≤0恒成立，
则△=（m-2）²+4（2-m）≤0，
解得：m∈[2，6]；
（2）当x∈[-1，1]时，f（x）≤m恒成立，
即-x²+（m-2）x+2≤m在[-1，1]上恒成立，
即-x²+（m-2）x+2-m≤0在[-1，1]上恒成立，
令g（x）=-x²+（m-2）x+2-m，则$\left\{\begin{array}{l}g（-1）≤0\\ g（1）≤0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-2m+3≤0\\-1≤0\end{array}\right.$，
解得：m≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．