Question

19．已知sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），则cos2α的值为$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），两边平方，化简整理得出，2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，判断出sinα＞0，所以cosα＜0．cosα-sinα＜0，整体求出cosα-sinα，再利用二倍角余弦公式求解．

解答 解：∵sinα+cosα=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$（0＜α＜π），两边平方，得出1+2sinαcosα=$\frac{2-\sqrt{3}}{2}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜0，
∵0＜α＜π，
∴sinα＞0，cosα＜0．cosα-sinα＜0，
∴（cosα-sinα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴cosα-sinα=-$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴cos2α=cos²α-sin²α=（cosα-sinα）（sinα+cosα）=（-$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{4}}$）×$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{\frac{（\sqrt{3}+1）^{2}}{4}}$×$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本小题主要考查同角三角函数基本关系式的应用和二倍角公式的应用．应用三角函数公式时，要恰当选择，灵活应用，选择恰当可以达到事半功倍的作用，属于中档题．