Question

数列{a_n}的前n项和为S_n．若数列{a_n}的各项按如下规则排列：

1

2

，

1

3

，

2

3

，

1

4

，

2

4

，

3

4

，

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

，…，

1

n

，

2

n

，…，

n-1

n

…，则a₁₅=

 

；若存在正整数k，使S_k-1＜10，S_k＞10，则a_k=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：规律型,等差数列与等比数列

分析：把原数列划分成如下规则排列：

1

2

；

1

3

，

2

3

；

1

4

，

2

4

，

3

4

；

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

；

1

6

…； …然后发现他们的个数是1，2，3，4，5…构建新数列b_n，很显然是个等差数列，利用等差数列的和知道前5项的和为

15

2

，前6项的和为

21

2

，所以a_k定在

1

7

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

6

7

中，在根据S_k-1＜10，S_k≥10求出具体结果．

解答： 解答：解：由题意可得，分母为2的有一个，分母为3的有2个，分母为4的有3个，分母为5的有4个，分母为6的有5个，…
由于1+2+3+4+5=15，故a₁₅=

5

6

．
把原数列分组，分母相同的为一组：

1

2

；

1

3

，

2

3

；

1

4

，

2

4

，

3

4

；

1

5

，

2

5

，

3

5

，

4

5

；

1

6

…；
发现他们的个数是1，2，3，4，5…
构建新数列b_n，表示数列中每一组的和，则bn=

n

2

是个等差数列，记b_n的前n项和为T_n，
利用等差数列的和知道T5=

15

2

，T6=

21

2

，
所以a_k定在

1

7

，

2

7

，

3

7

，

4

7

，

5

7

，

6

7

中，又因为S_k-1＜10，S_k≥10，而T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

=9+

9

14

＜10，
T5+

1

7

+

2

7

+

3

7

+

4

7

+

5

7

+

6

7

=10+

1

2

＞10，
故第k项为a_k=

6

7

．
故答案为：

5

6

，

6

7

．

点评：本题目主要考查学生对数列的观察能力，找出数列之间的相互关系，根据等差数列的前n项和计算公式，根据已有条件计算．考查学生的计算能力．