Question

如图,在四棱锥PABCD中,PD⊥平面ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=60°.

(1)当正视方向与向量的方向相同时,画出四棱锥PABCD的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程);
(2)若M为PA的中点,求证:DM∥平面PBC;
(3)求三棱锥DPBC的体积.

Answer 1

（1）见解析  （2）见解析  （3）8

解:(1)在梯形ABCD中,过点C作CE⊥AB,垂足为E.

由已知得,四边形ADCE为矩形,
AE=CD=3,
在Rt△BEC中,
由BC=5,CE=4,
依勾股定理得
BE=3,

从而AB=6.
又由PD⊥平面ABCD,
得PD⊥AD,
从而在Rt△PDA中,
由AD=4,∠PAD=60°,
得PD=4.
正视图如图所示.
(2)取PB中点N,
连接MN,CN.
在△PAB中,
∵M是PA中点,

∴MN∥AB,MN=AB=3,
又CD∥AB,CD=3,
∴MN∥CD,MN=CD,
∴四边形MNCD为平行四边形,
∴DM∥CN.
又DM平面PBC,
CN?平面PBC,
∴DM∥平面PBC.
(3)==S_△DBC·PD,
又S_△DBC=6,PD=4,
所以=8.