Question

1．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足$\frac{b}{c}=\sqrt{3}sinA+cosA$．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得$\sqrt{3}$sinAsinC=sinAcosC，由于sinA≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，结合范围C∈（0，π），可求C．
（2）由余弦定理，基本不等式可求ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$，进而利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 解：（1）∵$\frac{b}{c}=\sqrt{3}sinA+cosA$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\sqrt{3}$sinAsinC+sinCcosA，
又∵sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=sinAcosC，
∵sinA≠0，
∴解得：tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{π}{6}$．
（2）∵c=2，C=$\frac{π}{6}$，
∴由余弦定理可得：4=a²+b²-$\sqrt{3}$ab≥（2-$\sqrt{3}$）ab，
即：ab≤$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$，当且仅当a=b时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{2-\sqrt{3}}$×$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{3}$，
当且仅当a=b时等号成立，即△ABC的面积的最大值为2+$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．