Question

5．已知定义域为D的函数f（x），如果对任意的x∈D，存在正数m，使得|f（x）|≤mx²恒成立，那么称函数f（x）是D上的“倍平方的约束函数”．给出下列四个函数：①$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}$，②f（x）=2^x，③f（x）=（k²+1）x+1，④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；其中是“倍平方约束函数”的是①③④（只填正确选项的序号）．

Answer 1

分析 根据“倍平方的约束函数”的新定义对任意的x∈D，存在正数m，使得|f（x）|≤mx²恒成立进行考察选项，对于①：$|\frac{1}{2}{x}^{2}|≤m{x}^{2}$，对于任意的x，只需要$m≥\frac{1}{2}$即可成立即可．
对于②f（x）=2^x，由题意：|2^x|≤mx²，∵函数2^x的图象增长变化比x²的变化快，不一定存在．
对于③f（x）=（k²+1）x+1，∵|（k²+1）x+1|对于任意的x最小值为≥0，即0≤mx²恒成立．
对于④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；分类x≠0时，x=0时讨论，转化为$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|≤m$，最值问题．

解答 解：对于①$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}$，由题意：$|\frac{1}{2}{x}^{2}|≤m{x}^{2}$，对于任意的x，只需要$m≥\frac{1}{2}$即可成立，∴存在正数m，故①对．
对于②f（x）=2^x，由题意：|2^x|≤mx²，对于任意的x，∵函数2^x的图象增长变化比x²的变化快，∴对任意的x，不一定存在正数m，使得|f（x）|≤mx²恒成立．故②不对．
对于③f（x）=（k²+1）x+1，由题意：|（k²+1）x+1|≤mx²，∵|（k²+1）x+1|对于任意的x最小值为≥0，即0≤mx²，那么：对于任意的x，存在正数m使得mx²≥0恒成立，故③对．
对于④$f（x）=\frac{x^2}{{{x^2}-x+1}}$；由题意：|$\frac{{x}^{2}}{{x}^{2}-x+1}$|≤mx²，当x≠0时，转化为$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|≤m$，∵$|\frac{f（x）}{{x}^{2}}|=|\frac{1}{{x}^{2}-x+1}|=\frac{1}{（x-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}}≤\frac{4}{3}$，∴m$≥\frac{4}{3}$恒成立，当x=0时，则有f（x）=0，对于任意的x，存在正数m使得mx²≥0恒成立．故④对．综上所述：正确的是①③④．
故答案为①③④．

点评 本题考查了函数的最值及其几何意义，转化思想，分析能力和综合应用能力．属于难题．