Question

1．已知数列{$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$}．
（1）求这个数列的第10项；
（2）在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由．

Answer 1

分析 （1）令n=10，即可求这个数列的第10项；
（2）解不等式$\frac{1}{3}$＜$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$＜$\frac{2}{3}$，即可得到结论．

解答 解：（1）$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{（3n-1）（3n-2）}{（3n-1）（3n+1）}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$，
当n=10时，$\frac{9{n}^{2}-9n+2}{9{n}^{2}-1}$=$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{30-2}{30+1}$=$\frac{28}{31}$；
（2）∵$\frac{3n-2}{3n+1}$=$\frac{3n+1-3}{3n+1}$=1-$\frac{3}{3n+1}$
∴由$\frac{1}{3}$＜$\frac{3n-2}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，得$\frac{1}{3}$＜1-$\frac{3}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，
即-$\frac{2}{3}$＜-$\frac{3}{3n+1}$＜-$\frac{1}{3}$，
即$\frac{1}{3}$＜$\frac{3}{3n+1}$＜$\frac{2}{3}$，
得$\frac{1}{9}$＜$\frac{1}{3n+1}$＜$\frac{2}{9}$，
即$\frac{9}{2}$＜3n+1＜9，
解得$\frac{7}{6}$＜n＜$\frac{8}{3}$，
∵n∈N，
∴n=2，
即在区间（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）内有数列中的项，其中只有一项，为第2项．

点评 本题主要考查数列通项公式的应用，以及不等式的求解，考查学生的计算能力．