Question

3．对于使f（x）≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值叫作f（x）的上确界，若a，b∈（0，+∞），且a+b=2，则-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}{b}$的上确界为（　　）

• A． -$\frac{8}{3}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 把要求的式子与所给的条件相乘，整理出能够使用基本不等式的代数式，利用基本不等式得到函数的最值，得到上确界．

解答 解：∵a，b∈（0，+∞），且a+b=2，
∴-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}{b}$=-$\frac{1}{2}$（a+b）（$\frac{1}{3a}$+$\frac{3}{b}$）
=-$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$+3+$\frac{b}{3a}$+$\frac{3a}{b}$）
≤-$\frac{1}{2}$（$\frac{10}{3}$+2）=-$\frac{8}{3}$，
当且仅当b=3a时即a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{3}{2}$时取等号．
∴-$\frac{1}{3a}$-$\frac{3}{b}$的上确界是-$\frac{8}{3}$．
故选：A．

点评 本题考查基本不等式的应用和新定义问题，本题解题的关键是正确求出函数的最值，注意符号不要出错．